Se \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e \(g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) são funções dadas por \(f(x) = c + x^{2}\), onde \(c \in \mathbb{R}\), e \(g(x) = x\), seus gráficos se intersectam quando, e somente quando,
\(c \le \frac{1}{4}\).
\(c \ge \frac{1}{4}\).
\(c \le \frac{1}{2}\).
\(c \ge \frac{1}{2}\).
\(c \le 1\).
Resolução
Os gráficos se intersectam quando existe pelo menos um valor real de x para o qual f(x) = g(x). Isso significa que as duas funções têm a mesma altura na mesma coordenada horizontal x.
Substituindo as expressões dadas, temos c + x² = x. Passando todos os termos para o lado esquerdo, obtemos a equação do segundo grau x² − x + c = 0.
Uma equação do segundo grau tem pelo menos uma solução real se, e somente se, seu discriminante é maior ou igual a zero. O discriminante é calculado pelo quadrado do coeficiente de x menos quatro vezes o coeficiente de x² vezes o termo constante.
Nessa equação, esses coeficientes são −1 e 1, e o termo constante é c, o número real indicado no enunciado. Assim, o discriminante é (−1)² − 4 · 1 · c = 1 − 4c.
Portanto, precisamos de 1 − 4c ≥ 0. Isso equivale a 4c ≤ 1. Dividindo os dois lados por 4, obtemos c ≤ 1/4, exatamente a condição informada.