Um vídeo bastante popular na Internet mostra um curioso experimento em que uma garrafa de água pendurada por uma corda é mantida suspensa por um palito de dente apoiado em uma mesa.
O “truque” só é possível pelo uso de outros palitos, formando um tipo de treliça. A figura à direita da foto mostra uma visão lateral do conjunto, destacando duas das forças que atuam sobre o palito 1.
Nesta figura, \(\vec{F}\) é a força que o palito 2 exerce sobre o palito 1 (aplicada a uma distância \(L\) do ponto \(A\) na borda da mesa), \(\vec{P}\) é a componente vertical da força que a corda exerce sobre o palito 1 (aplicada a uma distância \(d\) do ponto A) e \(\theta\) é o ângulo entre a direção da força \(\vec{F}\) e a vertical. Para que o conjunto se mantenha estático, porém na iminência de rotacionar, a relação entre os módulos de \(\vec{F}\) e \(\vec{P}\) deve ser:
Note e adote:
Despreze o peso dos palitos em relação aos módulos das forças \(\vec{F}\) e \(\vec{P}\).
\(|\vec{F}| = \frac{|\vec{P}|d}{L \cos(\theta)}\)
\(|\vec{F}| = \frac{|\vec{P}|d}{L \text{sen}(\theta)}\)
\(|\vec{F}| = |\vec{P}| \cos(\theta)\)
\(|\vec{F}| = \frac{|\vec{P}|L \cos(\theta)}{d}\)
\(|\vec{F}| = \frac{|\vec{P}|L \text{sen}(\theta)}{d}\)
Resolução
Para o conjunto permanecer estático, ele não pode começar a girar. Portanto, a soma dos momentos das forças, também chamados de torques, deve ser zero. Na iminência de rotação, consideramos o ponto A, na borda da mesa, como eixo: a força de apoio aplicada nesse ponto não produz momento em relação a ele.
O momento é calculado multiplicando a distância entre o eixo e o ponto de aplicação pela componente da força perpendicular a essa distância. Como o palito 1 está horizontal, apenas as componentes verticais das forças produzem momento em relação a A. O peso dos palitos é desprezado, conforme o enunciado.
Chamando de F o módulo da força que o palito 2 exerce sobre o palito 1, sua componente vertical é F cos(θ), pois θ é o ângulo dessa força com a vertical. Essa componente atua para cima, a uma distância L de A, e produz um momento de módulo L · F cos(θ).
Chamando de P o módulo da componente vertical da força que a corda exerce sobre o palito 1, ela atua para baixo, a uma distância d de A. Seu momento tem módulo d · P e tende a girar o palito no sentido oposto ao momento da força do palito 2.
Para que esses momentos se equilibrem, seus módulos devem ser iguais: L · F cos(θ) = d · P. Dividindo os dois lados por L cos(θ), obtemos F = P d / [L cos(θ)], exatamente a relação informada.