André e Bianca possuem automóveis que podem ser abastecidos com etanol, gasolina ou uma mistura dos dois combustíveis. Em um mesmo posto de combustível, André abasteceu seu carro com 18 litros da bomba de etanol e 32 litros da bomba de gasolina; já Bianca abasteceu seu carro com 30 litros da bomba de etanol e 20 litros da bomba de gasolina. Sabendo que o valor total pago por André foi 10% maior do que o pago por Bianca, a razão entre os preços, por litro, de etanol e de gasolina é:
\(\frac{5}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{7}{10}\)
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{4}{5}\)
Resolução
Vamos chamar de E o preço por litro de etanol e de G o preço por litro de gasolina. Como André e Bianca abasteceram no mesmo posto, esses preços são os mesmos para os dois.
O valor pago por cada um é a soma das quantidades de litros multiplicadas pelos respectivos preços:
André: 18 × E + 32 × G.
Bianca: 30 × E + 20 × G.
André pagou 10% a mais que Bianca, ou seja, pagou 110% do valor pago por ela. Como 110% = 1,10, temos:
18 × E + 32 × G = 1,10 × (30 × E + 20 × G).
Multiplicando cada parcela dentro dos parênteses por 1,10:
18 × E + 32 × G = 33 × E + 22 × G.
Subtraindo 18 × E e 22 × G dos dois lados, obtemos:
10 × G = 15 × E.
A razão pedida é o preço do etanol dividido pelo preço da gasolina, isto é, E/G. Dividindo os dois lados da igualdade por 15 × G:
E/G = 10/15 = 2/3.