Desde as primeiras descobertas, os buracos negros despertam enorme interesse da humanidade. Eles são caracterizados por regiões suficientemente densas e massivas em que o campo gravitacional é tão intenso que nada que esteja a distâncias inferiores a \(R_{\text{Sc}}\) do buraco negro consegue escapar de sua atração, nem a luz ou outras formas de radiação. Esse raio, também conhecido como raio de Schwarzschild, é expresso por \(R_{\text{Sc}} = 2GM/c^2\), sendo \(G\) a constante de gravitação universal, \(M\) a massa do buraco negro e \(c\) a velocidade da luz.
Considere, por simplicidade, um buraco negro de massa igual à massa solar \(M_{\text{Sol}} = 2\times10^{30}\) kg e de raio igual a \(R_{\text{Sc}}\). Nesse caso, a razão entre a densidade volumétrica de um buraco negro e a densidade volumétrica do Sol apresenta uma ordem de grandeza mais próxima de:
Note e adote:
Suponha uniformes as densidades volumétricas do Sol e do buraco negro.
Considere que o buraco negro e o Sol sejam esféricos e tenham distribuição de massa uniforme.
\(G = 10^{-10}\) Nm2/kg2; \(R_{\text{Sol}} = 10^9\) m; \(c = 3\times10^8\) m/s.
\(10^{-2}\)
\(10^4\)
\(10^{10}\)
\(10^{16}\)
\(10^{22}\)
Resolução
A densidade volumétrica é a massa dividida pelo volume. Como o buraco negro e o Sol têm a mesma massa, a razão entre suas densidades será a razão inversa entre seus volumes: densidade do buraco negro / densidade do Sol = volume do Sol / volume do buraco negro.
Primeiro, calculamos o raio de Schwarzschild, indicado por R_Sc, que é o raio do buraco negro considerado. Substituindo os valores na fórmula fornecida:
R_Sc = 2 × 10⁻¹⁰ × (2 × 10³⁰) / (3 × 10⁸)² = (4 × 10²⁰) / (9 × 10¹⁶) ≈ 4,44 × 10³ m.
O volume de uma esfera é (4/3) × π × (raio)³. Assim, ao dividir o volume do Sol pelo volume do buraco negro, o fator (4/3) × π se cancela. Portanto, a razão entre as densidades é o cubo da razão entre o raio do Sol e o raio do buraco negro:
densidade do buraco negro / densidade do Sol = [10⁹ / (4,44 × 10³)]³ ≈ (2,25 × 10⁵)³ = 11,39 × 10¹⁵ = 1,139 × 10¹⁶.
Pela convenção usual de ordem de grandeza, usamos a potência de 10 mais próxima: quando o fator da notação científica é menor que √10, mantemos a potência. Como 1,139 < √10, a ordem de grandeza da razão é 10¹⁶.