Observe a imagem a seguir:
Com base nos gráficos das funções apresentados na imagem, é correto afirmar que:
\(w(x) = 2h(x)\) e \(n(x) = -f(x - 4)\)
\(h(x) = f(x) - 2\) e \(m(x) = f(x - 3)\)
\(w(x) = 2f(x)\) e \(g(x) = f(x/2)\)
\(n(x) = -m(x + 1)\) e \(g(x) = f(2x)\)
\(m(x) = f(x + 3)\) e \(h(x) = f(x) + 2\)
Resolução
A afirmação está correta. Para verificar as duas igualdades, vamos observar como um gráfico pode ser transformado no outro. Nas expressões, x representa a coordenada horizontal de um ponto do gráfico.
Primeiro, compare as funções m e n. A substituição de x por x + 1 desloca o gráfico uma unidade para a esquerda. Assim, o vértice de m, que está em (−2, 2), passa para (−3, 2). Isso acontece porque, para usar o valor original de m em x = −2, precisamos agora de x + 1 = −2, ou seja, x = −3.
O sinal negativo em −m(x + 1) troca o sinal de todas as coordenadas verticais, refletindo o gráfico em relação ao eixo horizontal. Portanto, o vértice passa de (−3, 2) para (−3, −2), exatamente o vértice de n. A concavidade também muda de voltada para baixo para voltada para cima. Além disso, o ponto (0, −2) de m passa para (−1, 2), que pertence a n. Essas transformações correspondem a n(x) = −m(x + 1).
Agora, compare as funções f e g. Na transformação g(x) = f(2x), cada coordenada horizontal do gráfico de f é dividida por 2, enquanto a coordenada vertical permanece igual. Essa transformação é uma compressão horizontal: o gráfico fica mais estreito, aproximando-se do eixo vertical.
O vértice de f é (1, 2); dividindo sua coordenada horizontal por 2, obtemos (0,5; 2), o vértice de g. Da mesma forma, o ponto (3, −2) de f corresponde ao ponto (1,5; −2) de g. Já o ponto (0, 1) permanece no mesmo lugar, pois 0/2 = 0. Isso confirma a relação g(x) = f(2x).