Uma empresa de apostas lucra 7% de todo o dinheiro apostado pelos jogadores e repassa 93% do dinheiro apostado de volta aos jogadores. Admita que, inicialmente, o volume de dinheiro apostado pelos jogadores seja igual a R reais, e que todos eles reapostem, consecutivamente, x vezes todo o dinheiro que receberam de volta da empresa a cada nova aposta.
Considerando que a soma dos n termos iniciais de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão q é dada por \(\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\), se G(x) é o ganho, em reais, acumulado dessa empresa de apostas após x vezes em que os jogadores fizeram suas apostas, a fórmula que calcula G(x) é:
\(G(x) = R \cdot (1 - 0,07^{x})\)
\(G(x) = R \cdot (1 - 0,93^{x})\)
\(G(x) = R \cdot \frac{1 - 0,93^{x}}{0,07}\)
\(G(x) = R \cdot \frac{1 - 0,07^{x}}{0,93}\)
\(G(x) = R \cdot 0,93 \cdot (1 - 0,07^{x})\)
Resolução
Na primeira aposta, o total apostado é R reais. A empresa fica com 7% desse valor, ou seja, ganha 0,07R, e devolve aos jogadores 0,93R.
Na segunda aposta, os jogadores apostam todo o dinheiro devolvido: 0,93R. Assim, o ganho da empresa nessa aposta é 0,07 · 0,93R. Como esse processo se repete, o ganho em cada aposta é igual ao ganho da aposta anterior multiplicado por 0,93.
Portanto, os ganhos da empresa formam uma progressão geométrica, que é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa. Seu primeiro termo é a₁ = 0,07R e sua razão é q = 0,93.
O ganho acumulado G(x) é a soma dos ganhos nas x apostas. Na fórmula de soma fornecida, usamos n = x, pois n representa a quantidade de termos somados:
G(x) = 0,07R · (1 − 0,93ˣ)/(1 − 0,93).
Como 1 − 0,93 = 0,07, podemos cancelar o fator 0,07 do numerador com o denominador, obtendo a resposta indicada: G(x) = R · (1 − 0,93ˣ).