Três amigos vão acampar e descobrem que nenhum deles trouxe fósforos. Para acender o fogo e fazer o almoço, resolvem improvisar e prendem um pedaço de filme plástico transparente num aro de “cipó”. Colocam um pouco de água sobre o plástico, formando uma poça de aproximadamente 14 cm de diâmetro e 1 cm de profundidade máxima, cuja forma pode ser aproximada pela de uma calota esférica. Quando o sol está a pino, para aproveitamento máximo da energia solar, a distância, em cm, entre o centro do filme e a palha seca usada para iniciar o fogo, é, aproximadamente,
Note e adote:
Para uma lente plano-convexa, \(\frac{1}{f} = (n - 1)\frac{1}{R}\), sendo \(n\) o índice de refração da lente e \(R\) o seu raio de curvatura.
Índice de refração da água = 1,33.
75
50
25
14
7
Resolução
A água forma uma lente plano-convexa: sua superfície superior é plana, e a superfície apoiada no filme é curva. Essa lente faz os raios solares, aproximadamente paralelos, convergirem para o foco. Para concentrar a energia solar e iniciar o fogo, a palha deve ficar nesse foco, abaixo do centro do filme.
Primeiro, precisamos calcular o raio de curvatura R, que é o raio da esfera da qual a superfície curva da poça faz parte. Ele não é igual ao raio da poça: como o diâmetro da poça é 14 cm, seu raio é 14/2 = 7 cm.
Imagine um corte vertical passando pelo centro da poça. Ligando o centro da esfera à borda da poça, obtemos um triângulo retângulo: a hipotenusa mede R, o cateto horizontal mede 7 cm e o cateto vertical mede R − 1, pois a profundidade máxima da água é 1 cm.
Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: R² = 7² + (R − 1)². Desenvolvendo: R² = 49 + R² − 2R + 1. Cancelando R² dos dois lados, temos 2R = 50, portanto R = 25 cm.
Agora usamos a fórmula fornecida, em que f é a distância focal da lente e n é o índice de refração da água: 1/f = (n − 1)/R. Isolando a distância focal e substituindo os valores, obtemos f = R/(n − 1) = 25/(1,33 − 1) = 25/0,33 ≈ 75,8 cm, compatível com a resposta aproximada de 75 cm.