Ondas estacionárias podem ser produzidas de diferentes formas, dentre elas esticando-se uma corda homogênea, fixa em dois pontos separados por uma distância \(L\), e pondo-a a vibrar. A extremidade à direita é acoplada a um gerador de frequências, enquanto a outra extremidade está sujeita a uma força tensional produzida ao se pendurar à corda um objeto de massa \(m_0\) mantido em repouso. O arranjo experimental é ilustrado na figura. Ajustando a frequência do gerador para \(f_1\), obtém-se na corda uma onda estacionária que vibra em seu primeiro harmônico.
Ao trocarmos o objeto pendurado por outro de massa \(M\), observa-se que a frequência do gerador para que a corda continue a vibrar no primeiro harmônico deve ser ajustada para \(2f_1\). Com isso, é correto concluir que a razão \(M/m_0\) deve ser:
Note e adote:
A velocidade da onda propagando-se em uma corda é diretamente proporcional à raiz quadrada da tensão sob a qual a corda está submetida.
1/4
1/2
1
2
4
Resolução
No primeiro harmônico de uma corda fixa nas duas extremidades, há dois nós (pontos que não vibram) nas extremidades e um único ventre (região de maior amplitude) entre eles. Nesse modo de vibração, o comprimento da corda corresponde à metade do comprimento de onda. Portanto, como a distância entre os pontos fixos não muda, o comprimento de onda também não muda.
Pela relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda, a velocidade da onda é igual à frequência multiplicada pelo comprimento de onda. Assim, para dobrar a frequência mantendo o mesmo comprimento de onda, é necessário dobrar a velocidade da onda.
O enunciado informa que a velocidade é diretamente proporcional à raiz quadrada da tensão. Por isso, para a velocidade ficar multiplicada por 2, a tensão precisa ser multiplicada por 2² = 4.
Como o objeto pendurado está em repouso, a tensão equilibra seu peso. O peso é a massa multiplicada pela aceleração da gravidade; como essa aceleração não muda, quadruplicar a tensão exige quadruplicar a massa pendurada. Logo, M/m₀ = 4, sendo M a massa do novo objeto e m₀ a massa do objeto inicial.