Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao segmento AC; F é o ponto médio do segmento AB; e ABE é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento BC mede 10 unidades de comprimento e o segmento AE mede 6 unidades de comprimento. A medida do segmento DF, em unidades de comprimento, é igual a
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Resolução
Como ABE é um triângulo equilátero, seus três lados têm a mesma medida: AB = BE = AE = 6. Como F é o ponto médio de AB, temos AF = FB = 6/2 = 3.
Em um triângulo equilátero, o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto também é uma altura, ou seja, é perpendicular a esse lado. Portanto, EF é perpendicular a AB, e o triângulo AFE é retângulo em F.
Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aplicando esse teorema ao triângulo AFE, cuja hipotenusa é AE, temos: EF² + AF² = AE². Assim, EF² = 6² − 3² = 36 − 9 = 27.
Como AC e DE são paralelos, os segmentos perpendiculares EF e CD medem a mesma distância entre essas retas. Logo, CD = EF e CD² = 27. Além disso, FC = FB + BC = 3 + 10 = 13.
O triângulo FCD é retângulo em C, pois FC está sobre AC, que é perpendicular a CD. Aplicando novamente o teorema de Pitágoras, agora com DF como hipotenusa: DF² = FC² + CD² = 13² + 27 = 169 + 27 = 196. Portanto, DF = √196 = 14 unidades de comprimento.