Diversos processos na indústria de óleo e gás podem envolver misturas de gases a diferentes temperaturas. Um sistema isolado é composto por dois compartimentos de mesmo volume: o primeiro é ocupado por \(n_{1} = 1\) mol e o segundo é ocupado por \(n_{2} = 2\) mols de um gás ideal monoatômico. Inicialmente cada compartimento encontra-se em equilíbrio térmico, com temperatura \(T_{1} = 4T\) e \(T_{2} = T\), respectivamente, conforme mostra a figura:
A partir de certo instante, a parede que separa os compartimentos é removida e, após algum tempo, o sistema atinge uma nova temperatura de equilíbrio \(T_{m}\). Supondo que não há trabalho realizado após a remoção da parede, nem troca de calor entre o sistema e o ambiente externo, a temperatura de equilíbrio \(T_{m}\) é dada por:
Note e adote: A energia interna de um gás ideal monoatômico é dada por \(U = 3nRT/2\), sendo \(n\) o número de mols, \(R\) a constante universal dos gases ideais e \(T\) a temperatura absoluta.
\(T\)
\(3T/2\)
\(2T\)
\(5T/2\)
\(4T\)
Resolução
Como o sistema não troca calor com o ambiente e não realiza trabalho, sua energia interna total permanece constante, pela primeira lei da Termodinâmica. Portanto, a soma das energias internas dos dois compartimentos antes da retirada da parede deve ser igual à energia interna final.
Usamos a fórmula fornecida para a energia interna: U = 3nRT/2, em que U é a energia interna, n é o número de mols, R é a constante universal dos gases ideais e a temperatura deve ser absoluta. No enunciado, T representa a temperatura inicial do segundo compartimento; a do primeiro é 4T.
O primeiro compartimento contém 1 mol a 4T, e o segundo contém 2 mols a T. Assim, a energia interna total inicial é: (3/2)R × 1 × 4T + (3/2)R × 2 × T = (3/2)R × 6T.
Após a retirada da parede, o número total de mols é 1 + 2 = 3. Chamando de Tₘ a temperatura final de equilíbrio, a energia interna final é (3/2)R × 3Tₘ.
Igualando as energias inicial e final, temos (3/2)R × 6T = (3/2)R × 3Tₘ. Cancelando o fator comum (3/2)R, obtemos 6T = 3Tₘ. Dividindo por 3, encontramos Tₘ = 2T, conforme a resposta indicada.