Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões \(\frac{9}{8}\) e \(\frac{256}{243}\). A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de \(\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}\).
Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz é composto por n tons e m semitons, a soma \(m + n\) é igual a:
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Resolução
A razão entre as frequências, da maior para a menor, é 990/220 = 9/2. Precisamos descobrir quantos tons e semitons, combinados, produzem essa razão.
Se n representa a quantidade de tons e m representa a quantidade de semitons, cada tom contribui com o fator 9/8 e cada semitom com o fator 256/243. Como a soma de intervalos corresponde ao produto das razões, temos: (9/8)^n × (256/243)^m = 9/2.
Para comparar os dois lados, decompomos os números em fatores primos: 9 = 3², 8 = 2³, 256 = 2⁸ e 243 = 3⁵. Assim, a equação fica: (3²/2³)^n × (2⁸/3⁵)^m = 3²/2.
Usando a regra de que os expoentes se multiplicam em uma potência de potência, podemos escrever: (3^(2n) × 2^(8m))/(2^(3n) × 3^(5m)) = 3²/2. Multiplicando pelos denominadores e somando os expoentes dos fatores de mesma base, obtemos: 3^(2n) × 2^(8m + 1) = 3^(5m + 2) × 2^(3n).
Pela unicidade da fatoração em números primos, os expoentes do 3 devem ser iguais nos dois lados, assim como os expoentes do 2. Portanto: 2n = 5m + 2 e 3n = 8m + 1.
Multiplicando a primeira equação por 3, temos 6n = 15m + 6. Multiplicando a segunda por 2, temos 6n = 16m + 2. Como ambas são iguais a 6n, podemos igualá-las: 15m + 6 = 16m + 2. Logo, m = 4.
Substituindo na primeira equação: 2n = 5 × 4 + 2 = 22, então n = 11. A soma pedida é m + n = 4 + 11 = 15.