A figura ilustra de maneira simplificada o fenômeno da dispersão da luz branca ao incidir sobre um prisma de vidro a partir do ar, mostrando apenas raios refratados correspondentes a três cores diferentes. Um fenômeno análogo é responsável pelo aparecimento do arco-íris após uma chuva.
Na base do fenômeno da dispersão está a refração de raios luminosos quando incidem sobre uma interface que separa dois meios físicos distintos. A descrição matemática da refração é feita pela lei de Snell, conforme apresentada a seguir:
\[n_{i,\lambda}\text{sen}\theta_{i} = n_{r,\lambda}\text{sen}\theta_{r}\]
em que:
- \(n_{i,\lambda}\) é o índice de refração da luz de comprimento de onda \(\lambda\) no meio incidente,
- \(\theta_{i}\) é o ângulo que o raio incidente faz com a reta normal à interface,
- \(n_{r,\lambda}\) é o índice de refração da mesma luz no meio refratado e
- \(\theta_{r}\) é o ângulo que o raio refratado faz com a reta normal à interface.
O índice de refração do ar pode ser tomado como igual a 1 para qualquer comprimento de onda. Com base nessas informações, a relação correta entre os índices de refração dos raios das cores 1 (\(n_{1}\)), 2 (\(n_{2}\)) e 3 (\(n_{3}\)) no vidro é dada por:
Note e adote:
A função seno é crescente quando \(\theta\) está entre 0 e 90 graus.
\(n_{1} = n_{2} = n_{3} > 1\)
\(n_{1} > n_{2} > n_{3} > 1\)
\(1 < n_{1} < n_{2} < n_{3}\)
\(n_{1} < n_{2} < n_{3} < 1\)
\(1 > n_{1} > n_{2} > n_{3}\)
Resolução
Para comparar os índices de refração, vamos analisar a entrada da luz no vidro. A reta normal é perpendicular à face de entrada do prisma e, nesse desenho, aponta para baixo e para a direita no interior do vidro. O raio da cor 1 fica mais próximo dessa normal, seguido pelo da cor 2 e pelo da cor 3. Portanto, o ângulo de refração da cor 1 é o menor, e o da cor 3 é o maior.
Todos os raios chegam com o mesmo ângulo de incidência, e o índice de refração do ar é 1 para todas as cores. Assim, pela lei de Snell, o produto do índice de refração no vidro pelo seno do ângulo de refração deve ser igual para as três cores. Como o seno é crescente entre 0° e 90°, o menor ângulo tem o menor seno e, para manter esse produto, deve corresponder ao maior índice de refração. Logo, a cor 1 tem o maior índice, seguida pela cor 2 e pela cor 3.
Além disso, os três raios se aproximam da normal ao entrar no vidro: seus ângulos de refração são menores que o ângulo de incidência. Pela lei de Snell, como o índice do ar é 1, o índice do vidro é o seno do ângulo de incidência dividido pelo seno do ângulo de refração. O numerador é maior que o denominador, então todos os índices no vidro são maiores que 1. Sendo n₁, n₂ e n₃ os índices de refração no vidro das cores 1, 2 e 3, respectivamente, a relação correta é n₁ > n₂ > n₃ > 1.