Um tradicional brinquedo infantil, conhecido como bate-bate, é composto por duas esferas (bolinhas) de massas iguais conectadas cada qual por uma corda e amarradas num ponto comum. Desloca-se a bolinha 1 de uma altura \(h\), conforme ilustrado no arranjo:
Ao soltar a esfera 1, ela colidirá com a bolinha 2, inicialmente em repouso. Supondo que a colisão seja perfeitamente elástica, verifica-se que, após a colisão, a esfera 2 subirá para a mesma altura \(h\). Imagine agora que uma pequena goma colante seja colocada numa das esferas de modo que, após a colisão, ambas permaneçam unidas. Neste caso, após a colisão, a altura alcançada pelo sistema formado pelas duas bolinhas unidas será:
Note e adote: Desconsiderar a massa da goma.
\(h/8\)
\(h/4\)
\(h/3\)
\(h/2\)
\(h\)
Resolução
Com a goma, as bolinhas ficam unidas após o choque. Essa é uma colisão perfeitamente inelástica: a energia mecânica não se conserva durante o choque, pois parte dela se transforma em energia interna, deformações e som. Por isso, precisamos analisar separadamente a descida, a colisão e a subida.
Na descida da bolinha 1, usamos a conservação da energia mecânica, desprezando a resistência do ar. A energia potencial gravitacional perdida se transforma em energia cinética. Chamando de m a massa de cada bolinha, de g a aceleração da gravidade e de v a velocidade da bolinha 1 imediatamente antes do choque, temos: mgh = mv²/2. Cancelando m e multiplicando por 2, obtemos v² = 2gh.
Durante a colisão, conserva-se a quantidade de movimento na direção horizontal, pois as forças externas, peso e tensão das cordas, são verticais nesse instante. A quantidade de movimento é o produto da massa pela velocidade. Chamando de u a velocidade das duas bolinhas unidas imediatamente após o choque, temos: mv + m·0 = (2m)u. A bolinha 2 estava parada, e a massa do conjunto é 2m, já que a massa da goma é desprezível.
Cancelando m, encontramos v = 2u, ou seja, u = v/2. Portanto, o conjunto inicia a subida com metade da velocidade que a bolinha 1 tinha antes do choque.
Na subida, voltamos a usar a conservação da energia mecânica: a energia cinética do conjunto se transforma em energia potencial gravitacional até ele parar momentaneamente na altura máxima. Chamando essa altura de H, temos: (2m)u²/2 = (2m)gH. Cancelando 2m e isolando H, obtemos H = u²/(2g).
Substituindo u = v/2 e depois v² = 2gh: H = (v/2)²/(2g) = v²/(8g) = 2gh/(8g) = h/4.