O telescópio espacial James Webb, lançado em dezembro de 2021, move-se nas proximidades de um ponto especial chamado ponto de Lagrange, sobre o qual um objeto orbita o Sol com o mesmo período de translação que a Terra. O esquema a seguir, fora de escala, representa o Sol, a Terra e o telescópio Webb, com as respectivas massas e distâncias indicadas.
A força resultante necessária para manter um objeto de massa \(m\) em uma órbita circular de raio \(R\) com velocidade angular \(\omega\) é \(F = m\omega^{2}R\). Sendo \(F_{T}\) e \(F_{W}\) as intensidades das forças gravitacionais resultantes sobre a Terra e sobre o telescópio, respectivamente, assinale a alternativa que descreve a razão \(F_{W}/F_{T}\) entre essas forças.
Note e adote: Despreze os efeitos gravitacionais da Lua e suponha que \(m_{W}\) seja desprezível frente às outras massas e que as órbitas sejam perfeitamente circulares. Suponha ainda que o telescópio se situe exatamente sobre o ponto de Lagrange.
\(\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W}R_{T}}{m_{T}R_{W}}\)
\(\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{(m_{T}+m_{S})R_{W}}{m_{T}R_{T}}\)
\(\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W}R_{W}}{m_{T}R_{T}}\)
\(\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{W}(R_{W}-R_{T})}{m_{T}R_{T}}\)
\(\frac{F_{W}}{F_{T}} = \frac{m_{T}(R_{W}-R_{T})}{m_{W}R_{T}}\)
Resolução
A Terra e o telescópio completam uma volta ao redor do Sol no mesmo intervalo de tempo, pois têm o mesmo período de translação. Como a velocidade angular é o ângulo percorrido dividido pelo tempo gasto, ambos têm a mesma velocidade angular, representada por ω.
A força gravitacional resultante é a responsável por manter cada corpo em sua órbita circular: ela atua como força centrípeta. Por isso, podemos aplicar a expressão fornecida no enunciado aos dois corpos.
Para a Terra, temos F_T = m_T ω² R_T, em que F_T é a intensidade da força gravitacional resultante sobre a Terra, m_T é sua massa e R_T é a distância entre ela e o Sol, correspondente ao raio de sua órbita.
Para o telescópio, temos F_W = m_W ω² R_W, em que F_W é a intensidade da força gravitacional resultante sobre o telescópio, m_W é sua massa e R_W é a distância entre ele e o Sol, correspondente ao raio de sua órbita. Essa força resultante inclui as atrações gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra.
Dividindo a expressão do telescópio pela expressão da Terra, obtemos F_W/F_T = (m_W ω² R_W)/(m_T ω² R_T). Como ω é igual para os dois corpos, o fator ω² se cancela, resultando na alternativa indicada: F_W/F_T = (m_W R_W)/(m_T R_T).