Para realizar o cálculo da diferença de altitude (altura) entre dois pontos A e B, localizados no terreno, um técnico utilizou uma Estação Total (ET), equipamento usado para medir a diferença entre níveis de pontos distintos. Ele posicionou o equipamento, que tem 1,6 m de altura, em um ponto M, equidistante na horizontal dos pontos A e B, a 40 m de cada um, nos quais estão os prismas de leitura (miras), conforme a figura a seguir:
Imagem sem escala
Admitindo-se que o ângulo de inclinação descendente, \(\alpha_A\), é 7° e o ângulo de inclinação ascendente, \(\alpha_B\), é 5° e que a leitura no prisma, \(h_B\), no ponto B foi de 3,60 m, determine a diferença de altitude (altura), em metros, entre os pontos A e B.
Note e adote: \(\tan(5°) \cong 0.087\) e \(\tan(7°) \cong 0.122\)
1,60
2,80
3,16
3,96
4,80
Resolução
Vamos usar como referência a linha horizontal que passa pelo ponto de medição da Estação Total. A altura de 1,6 m do equipamento não precisa entrar na conta, pois vamos comparar os dois pontos com essa mesma linha.
Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Aqui, isso significa que o desnível vertical é a distância horizontal multiplicada pela tangente do ângulo.
Como a distância horizontal até A é 40 m e a inclinação é descendente, A está abaixo da linha de referência uma distância de 40 × tan(7°) ≅ 40 × 0,122 = 4,88 m.
Na direção de B, a inclinação é ascendente. Portanto, o ponto de leitura no prisma está acima da linha de referência uma distância de 40 × tan(5°) ≅ 40 × 0,087 = 3,48 m.
Assim, a distância vertical entre A e o ponto de leitura no prisma é 4,88 + 3,48 = 8,36 m. Entretanto, o ponto de leitura fica 3,60 m acima do chão em B. Logo, B está acima de A uma altura de 8,36 − 3,60 = 4,76 m.
Com as aproximações fornecidas, o resultado é 4,76 m. Arredondando para uma casa decimal, obtemos 4,8 m, correspondente à resposta indicada como 4,80 m.