Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos \(A = (0,0)\), \(B = (8,0)\), C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro. Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência \(P\), conforme a figura?
Imagem sem escala
\((x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36\)
\((x - 18)^2 + (y - 4)^2 = 100\)
\((x - 8)^2 + (y - 24)^2 = 36\)
\(x^2 + y^2 = 36\)
\((x - 4)^2 + (y - 24)^2 = 100\)
Resolução
Como A = (0, 0) e B = (8, 0), o lado do quadrado mede 8 m. Pela figura, a praça está acima desse segmento. Assim, seu centro tem coordenadas (4, 4), pois fica na metade da largura e na metade da altura do quadrado.
O lado direito da praça vai de B = (8, 0) até C = (8, 8). Como P é o ponto médio desse lado, suas coordenadas são P = (8, 4).
O raio que chega ao ponto de tangência é perpendicular ao lado tangenciado. Como o lado direito do quadrado é vertical, o centro da circunferência procurada está na mesma horizontal de P, com coordenada vertical igual a 4.
O centro dessa circunferência está à direita da praça e a 10 m do centro do quadrado, que é (4, 4). Como os dois centros têm a mesma coordenada vertical, basta somar essa distância à coordenada horizontal: 4 + 10 = 14. Portanto, o centro do prédio é (14, 4).
O raio é a distância entre o centro do prédio e o ponto de tangência P. Como esses pontos estão na mesma horizontal, o raio mede 14 − 8 = 6 m.
Na equação de uma circunferência, a soma dos quadrados das diferenças entre as coordenadas de um ponto da circunferência e as coordenadas do centro é igual ao quadrado do raio. Usando x e y para representar as coordenadas de um ponto qualquer dessa circunferência, obtemos: (x − 14)² + (y − 4)² = 6², ou seja, (x − 14)² + (y − 4)² = 36.