Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número \(n\) (para \(n \in \mathbb{N}^*\)) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se \(2^n - 1\) é um número primo, então \(2^{n-1}(2^n - 1)\) é um número perfeito. Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:
Com exceção de \(n = 1\), os 5 primeiros termos da sequência \((a_n) = (2^n - 1)\) são números primos.
Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
Os números 28 e 31 são números perfeitos.
Na proposição de Euclides, para \(n = 4\), obtemos que \(2^n - 1\) não é primo, mas que \(2^{n-1}(2^n - 1)\) é perfeito.
A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de \((a_n) = (2^n - 1)\) é uma progressão aritmética de razão 2.
Resolução
O primeiro número perfeito é 6. Seus divisores positivos, excluindo o próprio 6, são 1, 2 e 3. Como 1 + 2 + 3 = 6, ele satisfaz a definição apresentada.
Para confirmar que ele é o primeiro, verificamos os menores: o número 1 não tem divisores positivos diferentes dele mesmo, então a soma é 0; para 2, 3 e 5, o único divisor considerado é 1; para 4, a soma é 1 + 2 = 3. Portanto, nenhum deles é perfeito.
Em uma progressão geométrica, cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o anterior pela razão. Com primeiro termo 6 e razão 3, temos: 6 × 3 = 18; depois, 18 × 3 = 54; e assim por diante.
Um número é par quando tem 2 como fator. Como 6 = 2 × 3, multiplicá-lo sucessivamente por 3 mantém esse fator 2. Assim, todos os termos dessa progressão são pares, como afirma a resposta indicada.