Para monitorar a presença de certa praga em uma lavoura de café ao longo dos 12 meses de um ano, os agrônomos modelaram a função quadrática f(x), dada por \(f(x) = -\frac{80}{49}x^{2} + \frac{1280}{49}x - \frac{1200}{49}\), em que x varia de 1 até 12.
Nessa função, f(x) indica a porcentagem da lavoura que possui a presença da praga e x indica o mês do ano em que foi feito o monitoramento da área, sendo x = 1 o início do mês de janeiro, x = 2 o início do mês de fevereiro, e assim sucessivamente até x = 12, que representa o início do mês de dezembro. Por exemplo, como \(f(2) = \frac{1040}{49} \approx 21,2\), sabe-se que a praga estava disseminada por cerca de 21,2% da lavoura no início de fevereiro.
Avaliando-se o comportamento dessa função no intervalo em que \(x \in [1, 12]\), a menor porcentagem da lavoura que esteve livre da praga foi de
20% e ocorreu no início do mês de agosto.
0% e ocorreu no início do mês de janeiro.
40% e ocorreu no meio do mês de julho.
50% e ocorreu no final do mês de julho.
80% e ocorreu no início do mês de agosto.
Resolução
A porcentagem da lavoura livre da praga é 100% menos a porcentagem atingida. Portanto, para encontrar a menor porcentagem livre, precisamos encontrar a maior porcentagem com a praga, indicada por f(x).
Como o coeficiente de x² é −80/49, um número negativo, o gráfico da função é uma parábola com concavidade para baixo. Por isso, seu vértice corresponde ao valor máximo da função.
Em uma função quadrática, a coordenada horizontal do vértice é o oposto do coeficiente de x dividido pelo dobro do coeficiente de x². Como x indica o mês do monitoramento, calculamos o mês do máximo por: −(1280/49) / [2 × (−80/49)] = (−1280/49) / (−160/49) = 8. Esse valor pertence ao intervalo de 1 a 12 e representa o início de agosto.
Substituindo x por 8 na função, encontramos a porcentagem atingida pela praga nesse momento: f(8) = (−80 × 8² + 1280 × 8 − 1200)/49 = (−5120 + 10240 − 1200)/49 = 3920/49 = 80%.
Assim, a menor porcentagem da lavoura livre da praga foi 100% − 80% = 20%, no início do mês de agosto.