A figura indica o pentágono UNESP, formado pelo quadrado UNSP e pelo triângulo equilátero NES, que compartilham o lado \(\overline{NS}\), de medida igual a 4 cm. Sabe-se, ainda, que a circunferência indicada na figura possui centro N e tangencia \(\overline{SE}\) no ponto T.
Adotando \(\frac{\pi}{4 + \sqrt{3}} = 0,548\), da região do pentágono UNESP, aquela que está ocupada pelo setor circular de centro N, indicado na figura em azul, corresponde a
68,5%.
66,5%.
70,5%.
72,5%.
74,5%.
Resolução
Para encontrar a porcentagem ocupada pela região azul, precisamos dividir a área do setor circular pela área total do pentágono e multiplicar o resultado por 100.
Primeiro, vamos calcular o raio NT da circunferência. O raio que chega ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente; portanto, NT é perpendicular a SE. Assim, NT é uma altura do triângulo equilátero NES. Nesse tipo de triângulo, a altura também divide o lado oposto ao meio. Como SE = 4 cm, temos ST = 2 cm.
No triângulo retângulo NTS, a hipotenusa NS mede 4 cm. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos: NT² + 2² = 4². Logo, NT² = 16 − 4 = 12 e o raio é NT = √12 = 2√3 cm.
A área do quadrado UNSP é o quadrado da medida do lado: 4² = 16 cm². Já a área do triângulo NES é a base multiplicada pela altura e dividida por 2: (4 × 2√3)/2 = 4√3 cm². Portanto, a área total do pentágono é 16 + 4√3 = 4(4 + √3) cm².
Agora, precisamos do ângulo central do setor azul. No vértice N, o quadrado tem ângulo de 90° e o triângulo equilátero tem ângulo de 60°. O setor indicado abrange esses dois ângulos, totalizando 90° + 60° = 150°.
A área de um setor circular é a fração do círculo determinada por seu ângulo central. Como a área do círculo é π vezes o quadrado do raio, a área azul é (150/360) × π × (2√3)² = (5/12) × π × 12 = 5π cm².
Assim, a porcentagem ocupada pelo setor é 100 × 5π/[4(4 + √3)] = 125 × π/(4 + √3).
Usando o valor fornecido na questão, π/(4 + √3) = 0,548, obtemos 125 × 0,548 = 68,5%.