Se \(\theta \in (0, \pi/2)\), a expressão
\[\frac{\frac{\cos(\theta)+\text{sen}(\theta)}{\text{sen}(\theta)}+\frac{\cos(\theta)-\text{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}}{\frac{\cos(\theta)+\text{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{\cos(\theta)-\text{sen}(\theta)}{\text{sen}(\theta)}}\]
é equivalente a
\(\cos^2(\theta) - \text{sen}^2(\theta)\).
\(\cos(2\theta) + \text{sen}(2\theta)\).
\(\cos(2\theta) - \text{sen}(2\theta)\).
\(1\).
Resolução
Como o ângulo θ está entre 0 e π/2, ele pertence ao primeiro quadrante. Nesse intervalo, sen(θ) e cos(θ) são positivos e, portanto, diferentes de zero.
Para eliminar as frações internas, multiplicamos o numerador e o denominador da fração principal por sen(θ) · cos(θ). Multiplicar ambos pelo mesmo fator diferente de zero não altera o valor da fração.
No numerador, após cancelar os denominadores das frações internas e distribuir os produtos, obtemos: cos(θ)[cos(θ) + sen(θ)] + sen(θ)[cos(θ) − sen(θ)] = cos²(θ) + cos(θ)sen(θ) + sen(θ)cos(θ) − sen²(θ) = cos²(θ) − sen²(θ) + 2sen(θ)cos(θ).
No denominador, o mesmo procedimento dá: sen(θ)[cos(θ) + sen(θ)] + cos(θ)[cos(θ) − sen(θ)] = sen(θ)cos(θ) + sen²(θ) + cos²(θ) − cos(θ)sen(θ). Os termos opostos se cancelam, restando sen²(θ) + cos²(θ) = 1, pela identidade trigonométrica fundamental.
Assim, a expressão fica [cos²(θ) − sen²(θ) + 2sen(θ)cos(θ)] / 1 = cos²(θ) − sen²(θ) + 2sen(θ)cos(θ).
Pelas fórmulas do ângulo duplo, cos(2θ) = cos²(θ) − sen²(θ) e sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ). Substituindo essas duas partes, obtemos cos(2θ) + sen(2θ), confirmando a resposta informada.