Sabendo que \(0 < \theta \le 90^\circ\) e que \(2\cos(2\theta) + 5\cos(\theta) = 4\), é correto afirmar que
\(0^\circ < \theta \le 30^\circ\).
\(30^\circ < \theta \le 45^\circ\).
\(45^\circ < \theta \le 60^\circ\).
\(60^\circ < \theta \le 90^\circ\).
Resolução
Vamos encontrar o cosseno de θ, o ângulo da questão, e depois identificar em qual intervalo esse ângulo está.
Pela identidade do cosseno do dobro de um ângulo, cos(2θ) = 2cos²(θ) − 1. Substituindo na equação dada, temos: 2[2cos²(θ) − 1] + 5cos(θ) = 4. Desenvolvendo e passando o 4 para o lado esquerdo, obtemos: 4cos²(θ) + 5cos(θ) − 6 = 0.
Para fatorar essa expressão, escrevemos 5cos(θ) como 8cos(θ) − 3cos(θ). Assim: 4cos(θ)[cos(θ) + 2] − 3[cos(θ) + 2] = 0. Colocando o fator comum em evidência, chegamos a: [4cos(θ) − 3][cos(θ) + 2] = 0.
Um produto é zero quando pelo menos um de seus fatores é zero. Portanto, cos(θ) = 3/4 ou cos(θ) = −2. Como o cosseno de qualquer ângulo está entre −1 e 1, descartamos −2 e ficamos com cos(θ) = 3/4.
Agora comparamos com os ângulos de 30° e 45°. Pelos valores trigonométricos dos ângulos notáveis, cos²(30°) = 3/4 = 12/16 e cos²(45°) = 1/2 = 8/16. Já cos²(θ) = (3/4)² = 9/16.
Como 12/16 > 9/16 > 8/16 e esses cossenos são não negativos no intervalo dado, temos cos(30°) > cos(θ) > cos(45°).
Entre 0° e 90°, o cosseno diminui quando o ângulo aumenta. Por isso, a comparação corresponde a 30° < θ < 45°. Esse intervalo está contido em 30° < θ ≤ 45°, portanto a resposta indicada está correta: o símbolo ≤ permite, mas não exige, que θ seja igual a 45°.