A figura abaixo exibe três círculos tangentes dois a dois e os três tangentes a uma mesma reta. Os raios dos círculos maiores têm comprimento \(R\) e o círculo menor tem raio de comprimento \(r\).
A razão \(R/r\) é igual a
\(3\).
\(\sqrt{10}\).
\(4\).
\(2\sqrt{5}\).
Resolução
Chamamos de R o raio de cada círculo maior e de r o raio do círculo menor. Como o raio traçado até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente, os centros dos círculos maiores estão a uma altura R da reta, e o centro do menor está a uma altura r.
Quando dois círculos são tangentes externamente, a distância entre seus centros é a soma dos raios. Assim, os centros dos círculos maiores estão separados por 2R, e a distância do centro do menor ao centro de cada um dos maiores é R + r.
Como o centro do círculo menor está à mesma distância dos centros dos dois maiores, ele fica na mediatriz do segmento que une esses centros, isto é, na perpendicular que passa pelo ponto médio desse segmento. Portanto, a separação horizontal entre o centro do menor e o centro de um dos maiores é metade de 2R, ou seja, R. A separação vertical é R − r.
Essas separações são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa, ligando os centros dos dois círculos, mede R + r. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos:
(R + r)² = R² + (R − r)².
Desenvolvendo os quadrados, obtemos:
R² + 2Rr + r² = R² + R² − 2Rr + r².
Cancelando r² e um termo R² de cada lado e reunindo os termos com Rr, temos R² = 4Rr. Como os raios são positivos, podemos dividir os dois lados por Rr, obtendo R/r = 4.