Para qual valor de \(a\) a equação matricial
\[\begin{pmatrix} a & -1 \\ a-2 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ a-4 \end{pmatrix}\]
não admite solução?
\(1\).
\(0\).
\(-1\).
\(-2\).
Resolução
Na equação matricial, x e y são as incógnitas, e a é o valor que precisamos determinar. Multiplicando cada linha da matriz pela coluna das incógnitas, obtemos o sistema: a·x − y = 3 e (a − 2)·x + a·y = a − 4.
Quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Portanto, para o sistema não admitir solução, esse determinante precisa ser zero. Mas isso não basta: depois precisamos verificar os valores encontrados.
O determinante de uma matriz 2 × 2 é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da outra diagonal. Neste caso: a·a − (−1)·(a − 2) = a² + a − 2.
Igualando a zero e fatorando, temos: a² + a − 2 = (a + 2)(a − 1) = 0. Como um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero, os valores a verificar são a = −2 e a = 1.
Para a = 1, as equações ficam x − y = 3 e −x + y = −3. A segunda é exatamente a primeira multiplicada por −1. Portanto, elas representam a mesma condição e o sistema admite soluções.
Para a = −2, as equações ficam −2x − y = 3 e −4x − 2y = −6. Multiplicando a primeira por 2, obtemos −4x − 2y = 6. Porém, a segunda exige que essa mesma expressão seja igual a −6. Como isso é impossível, o sistema não admite solução para a = −2, confirmando a resposta informada.