Sabendo que \(10^{0{,}3} < 2 < 10^{0{,}31}\) e que \(x\) é tal que \(\sqrt[2021]{10^{3x+5}} = 20\), então
\(855 \le x < 870\).
\(870 \le x < 885\).
\(885 \le x < 900\).
\(900 \le x < 1005\).
Resolução
Para localizar x, o número que aparece no expoente da igualdade dada, usamos a propriedade que permite escrever uma raiz como potência de expoente fracionário:
10^((3x + 5)/2021) = 20.
Precisamos, então, de limites para 20 escritos como potências de base 10. Multiplicando por 10 a desigualdade fornecida e usando a propriedade de que, na multiplicação de potências de mesma base, somamos os expoentes, temos:
10^1,3 < 20 < 10^1,31.
Substituindo 20 pela expressão da igualdade, obtemos 10^1,3 < 10^((3x + 5)/2021) < 10^1,31. Como a potência de base 10 aumenta quando o expoente aumenta, podemos comparar diretamente os expoentes:
1,3 < (3x + 5)/2021 < 1,31.
Multiplicando todos os termos por 2021, que é positivo e, portanto, não altera o sentido das desigualdades:
2627,3 < 3x + 5 < 2647,51.
Subtraindo 5 de todos os termos:
2622,3 < 3x < 2642,51.
Dividindo todos os termos por 3, obtemos 874,1 < x < 2642,51/3. Como 874,1 é maior que 870 e 2642,51/3 é menor que 885, esse intervalo está inteiramente contido no intervalo indicado: 870 ≤ x < 885.