Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo \(a\) a medida do menor lado e \(A\) a área desse triângulo, é correto afirmar que
\(A = a^2\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+2}}{4}.\)
\(A = a^2\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{4}.\)
\(A = a^2\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+2}}{2}.\)
\(A = a^2\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}.\)
Resolução
Em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma mesma razão. Chamando essa razão de r e lembrando que a é a medida do menor lado, podemos escrever os lados, em ordem crescente, como a, a·r e a·r², com r > 1.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado. Portanto, ela mede a·r², enquanto os catetos medem a e a·r. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:
(a·r²)² = a² + (a·r)²
Não é necessário usar uma nova fórmula para desenvolver esses quadrados: temos a²·r⁴ = a² + a²·r². Dividindo tudo por a², que é positivo, obtemos r⁴ = 1 + r², ou seja, r⁴ − r² − 1 = 0.
Essa é uma equação do segundo grau em r², pois r⁴ = (r²)². Pela fórmula de Bhaskara, r² = (1 ± √(1 + 4))/2 = (1 ± √5)/2. Como √5 > 1, a opção com o sinal negativo daria r² negativo, o que é impossível. Assim, r² = (1 + √5)/2 e, como a razão é positiva, r = √((1 + √5)/2).
A área A de um triângulo é a base multiplicada pela altura, dividida por 2. Como os catetos são perpendiculares, podemos usá-los como base e altura. Logo, A = a·(a·r)/2 = a²·r/2.
Substituindo a razão encontrada, A = (a²/2)·√((1 + √5)/2). Para chegar à forma indicada, multiplicamos o numerador e o denominador dentro da raiz por 2: √((1 + √5)/2) = √((2 + 2√5)/4) = √(2 + 2√5)/2. Portanto, A = a²·√(2√5 + 2)/4.