Sabendo que \(a\) é um número real, considere os polinômios \(p(x) = x^3 - x^2 + a\) e \(q(x) = x^2 + x + 2\). Se \(p(x)\) é divisível por \(q(x)\), então
\(a = 3.\)
\(a = 2.\)
\(a = -1.\)
\(a = -4.\)
Resolução
Para que p(x) seja divisível por q(x), o resto da divisão deve ser zero. Vamos fazer essa divisão para encontrar o número real a.
Primeiro, dividimos os termos de maior grau: x³ / x² = x. Multiplicando q(x) por x, obtemos x³ + x² + 2x. Subtraímos esse resultado de p(x):
(x³ − x² + a) − (x³ + x² + 2x) = −2x² − 2x + a.
Agora, dividimos os termos de maior grau novamente: −2x² / x² = −2. Multiplicando q(x) por −2, obtemos −2x² − 2x − 4. Fazemos a nova subtração:
(−2x² − 2x + a) − (−2x² − 2x − 4) = a + 4.
Como o resto a + 4 não tem a variável x, a divisão terminou. Para que ela seja exata, precisamos de a + 4 = 0, portanto a = −4.