Considere a matriz
\[A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 3 & k^2 \end{pmatrix}\]
e seja \(B = A + A^T\), onde \(A^T\) é a transposta da matriz \(A\).
Sobre o sistema
\[B \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2021 \\ 2022 \end{pmatrix}\]
é correto afirmar que:
se \(k = 0\), o sistema não tem solução.
se \(k = -1\), o sistema tem infinitas soluções.
se \(k = -1\), o sistema não tem solução.
se \(k = 3\), o sistema tem infinitas soluções.
Resolução
Para verificar a afirmação, vamos substituir k, o parâmetro da matriz A, por −1. Como (−1)² = 1, a matriz A fica com primeira linha (1, −1) e segunda linha (3, 1).
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Assim, Aᵀ tem primeira linha (1, 3) e segunda linha (−1, 1).
Na soma de matrizes, somamos os elementos que ocupam a mesma posição. Portanto, B = A + Aᵀ tem primeira linha (1 + 1, −1 + 3) = (2, 2) e segunda linha (3 − 1, 1 + 1) = (2, 2).
Na multiplicação de B pela coluna das incógnitas x e y, cada linha de B gera uma equação: o primeiro elemento multiplica x e o segundo multiplica y. O sistema fica:
2x + 2y = 2021
2x + 2y = 2022
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo, mas exigem resultados diferentes. Nenhum par de valores de x e y pode satisfazer as duas ao mesmo tempo. Logo, a afirmação está correta: se k = −1, o sistema não tem solução.