Um círculo está inscrito em um quadrilátero \(ABCD\). Seja \(T\) o ponto de tangência do lado \(DA\) com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados \(AB\), \(BC\) e \(CD\) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado \(DA\) é 3. Considerando que a medida do segmento \(TA\) é um número inteiro, as medidas dos lados \(AB\), \(BC\) e \(CD\) são, respectivamente:
1, 3, 5.
2, 3, 4.
2, 4, 6.
3, 4, 5.
Resolução
Quando um círculo está inscrito em um quadrilátero, as somas dos lados opostos são iguais, pela relação de Pitot: AB + CD = BC + DA. Essa relação vem da propriedade de que os dois segmentos tangentes traçados de um mesmo vértice até o círculo têm comprimentos iguais. Como DA = 3, temos AB + CD = BC + 3.
Em uma progressão aritmética, o termo do meio é a média dos extremos. Portanto, AB + CD = 2 × BC. Comparando as duas expressões para AB + CD, obtemos:
2 × BC = BC + 3, de modo que BC = 3.
Como a progressão é crescente, AB é menor que BC, ou seja, AB < 3. Além disso, AB é uma medida inteira positiva. Assim, AB só pode ser 1 ou 2.
Agora usamos a condição sobre TA. Como TA é uma medida inteira positiva, TA ≥ 1. Pela igualdade dos segmentos tangentes que partem de A, o trecho de A até o ponto de tangência no lado AB também mede TA. Esse trecho é menor que o lado AB inteiro, pois ainda resta um trecho positivo até B. Portanto, AB > TA ≥ 1, o que elimina AB = 1 e obriga AB = 2.
A diferença entre os termos consecutivos da progressão é, então, BC − AB = 3 − 2 = 1. Logo, CD = 3 + 1 = 4. As medidas pedidas são 2, 3 e 4.