A parábola \(y = -x^2 + bx + c\) intercepta o eixo \(x\) nos pontos \((p, 0)\) e \((q, 0)\). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações \(y = 2x + 1\) e \(y = 1 - \frac{x}{2}\). O valor de \(p + q\) é:
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{3}{2}\).
Resolução
Na equação da parábola, b é o coeficiente de x e c é o termo constante. Os números p e q são as raízes, pois são os valores de x para os quais y = 0. Pela relação de soma das raízes de uma equação do segundo grau, somamos as raízes tomando o oposto do coeficiente de x e dividindo pelo coeficiente de x². Assim, p + q = -b/(-1) = b. Portanto, precisamos determinar b.
Nos pontos de interseção da parábola com uma reta, as duas equações fornecem o mesmo valor de y para o mesmo x. Para a reta y = 2x + 1, igualamos:
-x² + bx + c = 2x + 1, ou seja, -x² + (b - 2)x + c - 1 = 0.
Como há uma única interseção, essa equação deve ter uma única raiz real. Isso acontece quando o discriminante é zero. O discriminante é o quadrado do coeficiente de x menos quatro vezes o produto do coeficiente de x² pelo termo constante. Logo: (b - 2)² - 4·(-1)·(c - 1) = 0, isto é, (b - 2)² + 4(c - 1) = 0.
Para a outra reta, y = 1 - x/2, fazemos o mesmo: -x² + bx + c = 1 - x/2. Reorganizando, temos -x² + (b + 1/2)x + c - 1 = 0. Como também há uma única interseção, seu discriminante deve ser zero: (b + 1/2)² + 4(c - 1) = 0.
As duas condições têm o mesmo termo 4(c - 1). Subtraindo uma equação da outra, obtemos (b - 2)² = (b + 1/2)². Desenvolvendo os quadrados: b² - 4b + 4 = b² + b + 1/4.
Cancelando b² e reunindo os termos, temos 4 - 1/4 = b + 4b, ou seja, 15/4 = 5b. Dividindo por 5, encontramos b = 3/4. Como p + q = b, a resposta indicada, 3/4, está correta.