O polinômio \(p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c\) é divisível por \(2x^2 - x + 4\). O valor de \(c + 2b - a\) é:
9.
15.
21.
25.
Resolução
Como a divisão é exata, podemos escrever o polinômio como o produto do divisor pelo quociente. O grau do quociente é a diferença entre os graus dos polinômios: 3 − 2 = 1. Além disso, seu termo de maior grau é x, pois 2x³ ÷ 2x² = x.
Portanto, o quociente tem a forma x + k, em que k representa seu termo constante. Assim:
p(x) = (2x² − x + 4)(x + k).
Aplicando a propriedade distributiva e reunindo os termos de mesmo grau:
p(x) = 2x³ + 2kx² − x² − kx + 4x + 4k = 2x³ + (2k − 1)x² + (4 − k)x + 4k.
Comparando com p(x) = 2x³ + ax² + bx + c, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Logo, a = 2k − 1, b = 4 − k e c = 4k.
Substituindo esses valores na expressão pedida:
c + 2b − a = 4k + 2(4 − k) − (2k − 1) = 4k + 8 − 2k − 2k + 1 = 9.