No dia 23 de março de 2021, um navio encalhou no canal de Suez, no Egito. A embarcação tinha 400 metros de comprimento e 60 metros de largura. No ponto onde aconteceu o acidente, o canal de Suez não tem mais do que 200 metros de largura. Abaixo apresentamos uma foto de satélite e uma figura representando a situação. O ângulo \(\alpha\) indicado na figura abaixo mede \(67{,}5^{\circ}\).
A largura do canal, medida em metros e indicada por \(L\) na figura anterior, é:
Dados:
- \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\)
- \(\mathrm{sen}(2\theta) = 2\,\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta)\).
\(400\sqrt{2 - \sqrt{2}} - 60\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 195{,}3\)
\(200\sqrt{2 - \sqrt{2}} - 15\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 125{,}4\)
\(200\sqrt{2 - \sqrt{2}} + 15\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 180{,}8\)
\(200\sqrt{3 - \sqrt{3}} - 15\sqrt{3 + \sqrt{3}} \approx 192{,}6\)
Resolução
Para encontrar a largura do canal, precisamos somar as distâncias horizontais entre o ponto da traseira que toca a margem esquerda, o meio da traseira e a ponta do navio, que toca a margem direita.
A linha tracejada acompanha o comprimento de 400 m do navio, partindo do meio da traseira. Como a largura do navio é 60 m, a distância entre esse ponto médio e o canto que toca a margem esquerda é 60/2 = 30 m.
A traseira forma um ângulo de 67,5° com a margem vertical. Como a horizontal é perpendicular à vertical, a traseira forma 90° − 67,5° = 22,5° com a horizontal. Além disso, como o comprimento do navio é perpendicular à traseira, a linha tracejada forma 22,5° com a vertical.
Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, e o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Assim, o trecho de 400 m tem projeção horizontal de 400 sen(22,5°), enquanto o trecho de 30 m tem projeção horizontal de 30 cos(22,5°). Portanto, chamando de L a largura do canal:
L = 400 sen(22,5°) + 30 cos(22,5°).
Para calcular o cosseno, usamos a fórmula do ângulo duplo fornecida, pois 2 × 22,5° = 45°. Como cos(45°) = √2/2, temos:
√2/2 = 2 cos²(22,5°) − 1
cos²(22,5°) = (2 + √2)/4
cos(22,5°) = √(2 + √2)/2.
Escolhemos a raiz positiva porque 22,5° é um ângulo agudo. Para calcular o seno, usamos a identidade trigonométrica sen²(ângulo) + cos²(ângulo) = 1:
sen²(22,5°) = 1 − (2 + √2)/4 = (2 − √2)/4
sen(22,5°) = √(2 − √2)/2.
Substituindo esses valores na expressão da largura do canal:
L = 400 · √(2 − √2)/2 + 30 · √(2 + √2)/2
L = 200√(2 − √2) + 15√(2 + √2) ≈ 180,8 m.