Um rapaz de massa \(m_1\) corre numa pista horizontal e pula sobre um skate de massa \(m_2\), que se encontra inicialmente em repouso. Com o impacto, o skate adquire velocidade e o conjunto rapaz+skate segue em direção a uma rampa e atinge uma altura máxima \(h\). A velocidade do rapaz, imediatamente antes de tocar no skate, é dada por
Note e adote:
Considere que o sistema rapaz + skate não perde energia devido a forças dissipativas, após a colisão.
\(\frac{(m_1 + m_2)}{m_2}\sqrt{gh}\)
\(\frac{(m_1 + m_2)}{2m_1}\sqrt{gh}\)
\(\frac{m_1}{m_2}\sqrt{2gh}\)
\(\frac{(m_1 + m_2)}{m_1}\sqrt{2gh}\)
\(\frac{(2m_1 + m_2)}{m_1}\sqrt{gh}\)
Resolução
É preciso separar o movimento em duas etapas: a colisão do rapaz com o skate e a subida pela rampa. Na colisão, eles passam a se mover juntos, caracterizando uma colisão perfeitamente inelástica. Por isso, não podemos conservar a energia cinética nessa etapa. A ausência de perdas de energia indicada no enunciado vale apenas após a colisão.
Chamaremos de v a velocidade do rapaz imediatamente antes de tocar no skate e de V a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão. As massas do rapaz e do skate são, respectivamente, m₁ e m₂.
Durante a colisão, desprezando o impulso das forças externas horizontais, conserva-se a quantidade de movimento horizontal, calculada pelo produto da massa pela velocidade. Como o skate está inicialmente em repouso, temos:
m₁v + m₂ · 0 = (m₁ + m₂)V
Isolando a velocidade pedida: v = [(m₁ + m₂)/m₁]V.
Depois da colisão, não há perdas de energia por forças dissipativas. Assim, pela conservação da energia mecânica, a energia cinética do conjunto transforma-se em energia potencial gravitacional durante a subida. Na altura máxima h, o conjunto para momentaneamente. Usando energia cinética = massa · velocidade²/2 e energia potencial gravitacional = massa · g · altura, em que g é a aceleração da gravidade, obtemos:
(m₁ + m₂)V²/2 = (m₁ + m₂)gh
Cancelando a massa total e multiplicando por 2: V² = 2gh. Portanto, V = √(2gh).
Substituindo essa velocidade na expressão obtida na colisão, encontramos a resposta indicada: v = [(m₁ + m₂)/m₁]√(2gh).