Se a função \(f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R}\) é definida por \(f(x) = \frac{2x+1}{x-2}\) e a função \(g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R}\) é definida por \(g(x) = f(f(x))\), então \(g(x)\) é igual a
\(\frac{x}{2}\)
\(x^2\)
\(2x\)
\(2x + 3\)
\(x\)
Resolução
O número x é a entrada da função e deve ser diferente de 2, pois o denominador x − 2 não pode ser zero. A expressão g(x) = f(f(x)) significa aplicar f duas vezes: primeiro calculamos f(x) e depois usamos esse resultado como entrada de f.
Assim, substituímos a entrada na expressão de f pelo resultado (2x + 1)/(x − 2):
g(x) = [2 · (2x + 1)/(x − 2) + 1] / [(2x + 1)/(x − 2) − 2].
Vamos simplificar o numerador. Para somar as parcelas, escrevemos 1 como (x − 2)/(x − 2), deixando as frações com o mesmo denominador:
2 · (2x + 1)/(x − 2) + 1 = [4x + 2 + x − 2]/(x − 2) = 5x/(x − 2).
No denominador, escrevemos 2 como 2(x − 2)/(x − 2) e subtraímos:
(2x + 1)/(x − 2) − 2 = [2x + 1 − 2(x − 2)]/(x − 2) = [2x + 1 − 2x + 4]/(x − 2) = 5/(x − 2).
Esse resultado nunca é zero. Portanto, f(x) nunca é 2, o que garante que podemos aplicar f novamente.
Por fim, dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso. Logo:
g(x) = [5x/(x − 2)] / [5/(x − 2)] = [5x/(x − 2)] · [(x − 2)/5] = x, para x ≠ 2.