Considere a função polinomial \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por
\[f(x) = ax^2 + bx + c,\]
em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\). No plano cartesiano \(xy\), a única intersecção da reta \(y = 2\) com o gráfico de \(f\) é o ponto \((2; 2)\) e a intersecção da reta \(x = 0\) com o gráfico de \(f\) é o ponto \((0; -6)\). O valor de \(a + b + c\) é
-2
0
2
4
6
Resolução
Como a ≠ 0, o gráfico da função é uma parábola. Uma reta horizontal encontra essa parábola em um único ponto quando passa pelo vértice. Assim, a informação sobre a reta y = 2 mostra que o vértice é (2, 2).
Pela forma de vértice da função quadrática, podemos escrever f(x) = a(x − 2)² + 2: o número dentro dos parênteses indica a coordenada horizontal do vértice, e o número somado indica sua coordenada vertical. A letra a continua sendo o coeficiente de x².
Como o gráfico passa por (0, −6), temos f(0) = −6. Substituindo na expressão: −6 = a(0 − 2)² + 2. Logo, −6 = 4a + 2, de modo que 4a = −8 e a = −2. Portanto, f(x) = −2(x − 2)² + 2.
Para encontrar a soma dos coeficientes a, b e c, basta calcular f(1), pois, na expressão original, f(1) = a · 1² + b · 1 + c = a + b + c. Usando a expressão encontrada: f(1) = −2(1 − 2)² + 2 = −2 · 1 + 2 = 0.