Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se \(T\) é a área de cada um dos triângulos e \(Q\) a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é
\(T + Q\).
\(\frac{1}{2}T + \frac{1}{2}Q\).
\(T + \frac{1}{2}Q\).
\(\frac{1}{3}T + \frac{1}{4}Q\).
\(\frac{1}{3}T + \frac{1}{2}Q\).
Resolução
As cinco figuras têm um vértice em comum. Vamos calcular separadamente a parte do pentágono que fica dentro de cada triângulo e de cada quadrado.
O segmento que liga os centros de duas figuras vizinhas passa pelo ponto médio do lado que elas compartilham. Isso acontece porque os dois centros estão na mediatriz desse lado, isto é, na reta perpendicular ao lado que passa pelo seu ponto médio, em lados opostos. Assim, dentro de cada figura, a parte do pentágono é um quadrilátero formado pelo vértice comum, pelos pontos médios dos dois lados que saem dele e pelo centro da figura.
Em cada triângulo equilátero, ligue o centro aos três vértices e aos pontos médios dos três lados. Por simetria, essa divisão produz seis pequenos triângulos de mesma área. A parte que pertence ao pentágono reúne dois deles. Como T é a área de cada triângulo equilátero, essa parte tem área 2 × (T/6) = T/3.
Em cada quadrado, os segmentos que ligam o centro aos pontos médios dos lados dividem a figura em quatro quadrados iguais. A parte que pertence ao pentágono é um desses quadrados menores. Como Q é a área de cada quadrado original, essa parte tem área Q/4.
Somando as partes dos três triângulos e dos dois quadrados, a área do pentágono é 3 × (T/3) + 2 × (Q/4) = T + Q/2.