Dado um número natural \(n \geq 2\), o primorial de \(n\), denotado por \(n\#\), é o produto de todos os números primos menores que ou iguais a \(n\). Por exemplo,
\[6\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30.\]
O menor número da forma \(n\#\) que é maior que 2000 é:
2300
2305
2310
2312
2322
Resolução
O primorial é o produto dos números primos até o número considerado. Por isso, ele só aumenta quando aparece um novo primo; os números que não são primos não acrescentam fatores ao produto.
Os primeiros primos são 2, 3, 5, 7 e 11. Multiplicando até o 7, temos: 7# = 2 × 3 × 5 × 7 = 210, que ainda é menor que 2000. Os primoriais anteriores também são menores, pois usam menos fatores desse produto.
Como 8, 9 e 10 não são primos, seus primoriais continuam iguais a 210. O próximo primo é 11, então: 11# = 210 × 11 = 2310.
Esse é o primeiro primorial que ultrapassa 2000, pois não há outro primo entre 7 e 11. Assim, a resposta indicada está correta.