Considere a equação trigonométrica
\[\text{sen}\frac{\pi}{2} + \text{sen}\,x = \text{sen}(2x) - \cos\pi\]
para \(x \in \mathbb{R}, 0 \leq x < 2\pi\).
Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira:
\[\text{sen}\frac{\pi}{2} + \text{sen}\,x = \text{sen}(2x) - \cos\pi\]
\[1 + \text{sen}\,x = \text{sen}(2x) + 1\]
\[\text{sen}\,x = \text{sen}(2x)\]
\[\text{sen}\,x = 2\text{sen}\,x\]
\[2\text{sen}\,x - \text{sen}\,x = 0\]
\[\text{sen}\,x = 0\]
\[x = 0 \text{ ou } x = \pi\]
A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele
considerou que \(\cos\pi\) vale 1.
não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.
considerou que \(\text{sen}\frac{\pi}{2}\) vale 1.
não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.
apresentou duas respostas e não apenas uma.
Resolução
A resposta informada está correta. O erro do estudante foi considerar que sen(2x) = 2 sen x. Aqui, x representa o arco procurado na equação, medido em radianos.
As primeiras etapas estão certas: como sen(π/2) = 1 e cos π = −1, a equação fica 1 + sen x = sen(2x) + 1. Subtraindo 1 dos dois lados, obtemos sen x = sen(2x).
Para desenvolver sen(2x), devemos escrever 2x = x + x e aplicar a fórmula do seno da soma de dois arcos: sen(x + x) = sen x · cos x + cos x · sen x = 2 sen x · cos x. Portanto, o estudante deixou de incluir o fator cos x.
Continuando corretamente: sen x = 2 sen x · cos x. Passando todos os termos para um lado e colocando sen x em evidência, temos sen x · (2 cos x − 1) = 0.
Como um produto é zero quando pelo menos um de seus fatores é zero, temos sen x = 0 ou 2 cos x − 1 = 0. A segunda possibilidade equivale a cos x = 1/2.
No intervalo 0 ≤ x < 2π, o seno é zero em x = 0 e x = π. Já o cosseno vale 1/2 em x = π/3 e x = 5π/3, arcos do primeiro e do quarto quadrantes do círculo trigonométrico. Essas duas últimas soluções foram perdidas na resolução do estudante por causa do uso incorreto da fórmula do seno da soma.