Sejam \(a, b, c\) termos consecutivos de uma progressão geométrica sem nenhum termo nulo e \(p(x)\) o polinômio de grau 2 dado por \(p(x) = a + bx + cx^2\). Se \(a\) é positivo, qual das figuras abaixo pode representar corretamente o gráfico de \(p(x)\)?
Resolução
Os números a, b e c são termos consecutivos de uma progressão geométrica e também os coeficientes de p(x) = a + bx + cx². Para identificar o gráfico, vamos verificar a concavidade da parábola e se ela corta os eixos.
Em uma progressão geométrica, a razão entre um termo e o anterior é constante. Como nenhum termo é nulo, podemos escrever b/a = c/b. Multiplicando pelos denominadores, obtemos b² = ac. Como b ≠ 0, temos b² > 0. Portanto, ac > 0 e, como a é positivo, c também é positivo.
O sinal do coeficiente de x² determina a concavidade da parábola: como c > 0, ela tem concavidade voltada para cima, como na figura indicada.
Para saber se a parábola corta o eixo x, analisamos as raízes de cx² + bx + a = 0. Pela fórmula do discriminante, Δ = b² − 4ca, em que Δ representa o discriminante. Substituindo b² por ac, encontramos Δ = ac − 4ac = −3ac. Como ac > 0, temos Δ < 0: não há raízes reais, ou seja, a parábola não toca nem cruza o eixo x. Além disso, p(0) = a > 0, então ela corta o eixo y acima da origem.
Na figura, o vértice está à esquerda do eixo y. Isso também é possível: pela fórmula da posição horizontal do vértice, essa posição é −b/(2c), que é negativa quando b > 0. A progressão geométrica pode ter todos os termos positivos, portanto essa condição é permitida. Assim, a figura apresentada pode representar corretamente o gráfico.