Dados os números reais positivos \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), a média geométrica \(M\) destes termos é calculada por:
\[M = \sqrt[n]{a_1 \ldots a_n}.\]
A média geométrica de 1, 10, 100, …, 1022 é:
1011.
1012.
1013.
1014.
Resolução
Primeiro, escrevemos todos os números como potências de 10: 1 = 10^0, 10 = 10^1, 100 = 10^2, e assim por diante, até 10^22.
Os expoentes vão de 0 até 22, incluindo os dois extremos. Portanto, há 22 − 0 + 1 = 23 números. Pela definição dada, precisamos multiplicar esses números e depois calcular a raiz de índice 23 do resultado.
Na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Assim, o produto dos números é 10^(0 + 1 + 2 + ... + 22).
Os expoentes formam uma progressão aritmética, pois aumentam sempre de 1 em 1. Para somá-los, usamos a fórmula da soma dessa progressão: primeiro termo mais último termo, multiplicado pela quantidade de termos e dividido por 2. Logo, 0 + 1 + 2 + ... + 22 = (0 + 22) × 23 / 2 = 253.
O produto é, portanto, 10^253. Como extrair uma raiz de uma potência de base positiva equivale a dividir o expoente pelo índice da raiz, a média geométrica é 10^(253/23) = 10^11, conforme a resposta informada.