Se \(\log_{2} y = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\log_{2} x\), para \(x > 0\), então
\(y = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{2}}\)
\(y = \sqrt{\frac{x^3}{2}}\)
\(y = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt[3]{x^2}\)
\(y = \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{x^2}\)
\(y = \sqrt{2x^3}\)
Resolução
O logaritmo de y na base 2 indica o expoente ao qual devemos elevar 2 para obter y. Assim, pela definição de logaritmo, a igualdade dada equivale a: y = 2^(−1/2 + (2/3)log₂ x).
Pela propriedade das potências, uma soma no expoente pode ser separada em um produto de potências de mesma base: y = 2^(−1/2) · 2^((2/3)log₂ x).
Como elevar uma potência a outro expoente equivale a multiplicar os expoentes, podemos escrever: y = 2^(−1/2) · (2^(log₂ x))^(2/3). A exponenciação e o logaritmo de mesma base são operações inversas, então 2^(log₂ x) = x. Portanto, y = 2^(−1/2) · x^(2/3).
O expoente negativo indica o inverso, e o expoente 1/2 indica a raiz quadrada: 2^(−1/2) = 1/√2. Já no expoente fracionário 2/3, o denominador indica a raiz cúbica e o numerador indica o quadrado: x^(2/3) = ∛(x²).
Substituindo essas duas expressões, obtemos a resposta indicada: y = ∛(x²)/√2.