Um triângulo retângulo com vértices denominados \(A\), \(B\) e \(C\) apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice \(C\) até o vértice \(A\) tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de \(A\), até o vértice \(B\) tocar o solo, e assim por diante.
Usando as dimensões indicadas na figura (\(AB = 1\) e \(BC = 2\)), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice \(B\), desde a posição mostrada, até a aresta \(BC\) apoiar-se no solo novamente?
\(\frac{3}{2}\pi\)
\(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\pi\)
\(\frac{13}{6}\pi\)
\(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\pi\)
\(\frac{8+2\sqrt{3}}{3}\pi\)
Resolução
O movimento tem três etapas: rotação em torno de C até A tocar o solo; rotação em torno de A até B tocar o solo; e rotação em torno de B até o lado BC voltar a apoiar-se no solo. Nas duas primeiras, B percorre arcos de circunferência. Na última, B fica parado, pois é o centro da rotação.
Primeiro, precisamos do ângulo interno em C. Como o ângulo reto está em A, BC é a hipotenusa. Pela definição de seno no triângulo retângulo, sen(ângulo em C) = cateto oposto/hipotenusa = AB/BC = 1/2. Como sen 30° = 1/2, o ângulo em C mede 30°.
Para um novo lado encostar no solo, o triângulo gira pelo ângulo que falta para completar 180° com o ângulo interno no vértice de apoio. Assim, o primeiro giro, em torno de C, mede 180° − 30° = 150°.
Nesse primeiro giro, B percorre um arco de raio CB = 2. Usamos a fórmula comprimento do arco = raio × ângulo em radianos. Como 180° correspondem a π radianos, 150° correspondem a 150π/180 = 5π/6 radianos. Portanto, o comprimento percorrido nessa etapa é 2 × 5π/6 = 5π/3.
No segundo giro, o centro é A e o raio da trajetória de B é AB = 1. Como o ângulo interno em A é reto, a rotação mede 180° − 90° = 90°, ou π/2 radianos. O comprimento percorrido nessa etapa é 1 × π/2 = π/2.
No terceiro giro, B permanece fixo no solo enquanto o lado BC desce até se apoiar novamente. Portanto, essa etapa não acrescenta comprimento à trajetória de B.
Somando os dois arcos, o comprimento total da trajetória é 5π/3 + π/2 = 10π/6 + 3π/6 = 13π/6.