Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?
\(\frac{1}{9}\)
\(\frac{17}{81}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{51}{125}\)
\(\frac{125}{243}\)
Resolução
Para a seta terminar na posição zero, cada movimento para a direita precisa ser compensado por um movimento para a esquerda. As rodadas em que ela fica parada não alteram a posição.
Em cada uma das 5 rodadas, há 3 possibilidades. Portanto, existem 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 sequências de movimentos, todas igualmente prováveis. Vamos contar quantas terminam em zero.
Sem movimentos para os lados: a seta fica parada nas 5 rodadas. Há apenas 1 sequência assim.
Com 1 movimento para a direita e 1 para a esquerda: a seta fica parada nas outras 3 rodadas. Há 5 escolhas para a rodada do movimento à direita e, depois, 4 escolhas para a rodada do movimento à esquerda. Isso dá 5 × 4 = 20 sequências.
Com 2 movimentos para a direita e 2 para a esquerda: a seta fica parada em apenas 1 rodada. Há 5 escolhas para essa rodada. Das 4 restantes, escolhemos 2 para os movimentos à direita: são (4 × 3)/2 = 6 escolhas. Dividimos por 2 porque escolher as mesmas duas rodadas em ordem inversa não cria uma nova sequência. As outras 2 rodadas ficam com os movimentos à esquerda. Assim, temos 5 × 6 = 30 sequências.
Esses são todos os casos possíveis, pois 3 movimentos para cada lado exigiriam mais de 5 rodadas. Como as sequências são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é o número de sequências favoráveis dividido pelo total: (1 + 20 + 30)/243 = 51/243 = 17/81.