Considere a região do plano cartesiano
\[A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: |x| + |y| \leq 1\}\]
esboçada na figura.
Dado \(B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: (x+1)^{2} + y^{2} \geq 1\}\), a área da região \(A \cap B\) é:
\(2 - \frac{\pi}{4}\)
\(2 - \frac{\pi}{2}\)
\(4 + \frac{\pi}{2}\)
\(4 - \frac{\pi}{4}\)
\(2 + \frac{\pi}{2}\)
Resolução
A região A é um quadrado com vértices (−1,0), (0,1), (1,0) e (0,−1). Suas duas diagonais medem 2. Pela fórmula da área do losango, que é o produto das diagonais dividido por 2, sua área é 2 × 2 / 2 = 2.
Pela fórmula da distância entre dois pontos, (x+1)² + y² é o quadrado da distância do ponto de coordenadas (x,y) ao ponto (−1,0). Assim, a condição (x+1)² + y² ≥ 1 define os pontos sobre ou fora da circunferência de centro (−1,0) e raio 1.
Para obter A ∩ B, devemos então retirar do quadrado a parte que fica dentro dessa circunferência. Observe que o centro da circunferência é justamente o vértice esquerdo do quadrado.
O disco de centro (−1,0) e raio 1 só alcança pontos com x ≤ 0. Nessa metade do quadrado, a parte do disco contida em A fica entre os dois lados que saem do vértice (−1,0). Como esses lados formam um ângulo de 90°, a região retirada é um setor circular de 90°, ou seja, um quarto de disco.
Pela fórmula da área do círculo, π vezes o raio ao quadrado, a área retirada é π × 1² / 4 = π/4. Portanto, a área de A ∩ B é 2 − π/4, como indicado.