Uma startup de tecnologia está desenvolvendo um novo aplicativo e observa que o número de usuários está crescendo, em milhares, após t semanas do lançamento, de acordo com a função:
\[M(t) = 200 \times (1,1)^{t}\]
Com isso, a equipe da startup quer saber: qual é o período, em semanas, em que o número de usuários ultrapassa 300 mil?
Note e adote:
log 3 ≅ 0,4771 ; log 5 ≅ 0,6990 e log 11 ≅ 1,0414
Entre 0 e 1 semana.
Entre 1 e 3 semanas.
Entre 2 e 4 semanas.
Entre 3 e 4 semanas.
Entre 4 e 6 semanas.
Resolução
A função M(t) informa o número de usuários em milhares, e t representa o tempo em semanas após o lançamento. Portanto, ultrapassar 300 mil usuários significa ter M(t) > 300.
Substituindo a função e dividindo os dois lados por 200, temos: 200 × (1,1)^t > 300, ou seja, (1,1)^t > 1,5.
Para encontrar o tempo que aparece no expoente, aplicamos logaritmos decimais aos dois lados. Como o logaritmo decimal é crescente, o sentido da desigualdade é mantido. Pela propriedade do logaritmo de uma potência, o expoente passa a multiplicar o logaritmo da base: t × log 1,1 > log 1,5.
Vamos calcular esses logaritmos usando os valores fornecidos. Pelas propriedades dos logaritmos, o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos, e o de um produto é a soma. Além disso, log 10 = 1, pois a base é 10. Assim:
log 1,1 = log(11/10) = log 11 − log 10 ≅ 1,0414 − 1 = 0,0414.
log 1,5 = log((3 × 5)/10) = log 3 + log 5 − log 10 ≅ 0,4771 + 0,6990 − 1 = 0,1761.
Logo, t × 0,0414 > 0,1761. Dividindo pelo número positivo 0,0414, obtemos t > 0,1761/0,0414 ≅ 4,25.
O número de usuários, portanto, ultrapassa 300 mil logo após aproximadamente 4,25 semanas, instante que fica entre 4 e 6 semanas. A resposta indicada está correta. Se forem consideradas apenas semanas inteiras, a primeira será a 5ª semana.